Búhos y Sistemas dinámicos

Si en el artículo anterior nos ocupamos del movimiento en su escala más fundamental, hoy vamos a ver cómo puede evolucionar un sistema de una forma mucho más visible: en la anterior entrega hice referencia a una clase de ecuaciones que se emplea para predecir ese movimiento pero que no mostré explícitamente, por lo que ahora trataré de hacer un acercamiento muy elemental -lamentablemente incompleto-. Para aprovechar la ocasión, hablaré de una aplicación bastante interesante de todas estas cosas, porque al fin y al cabo, los matemáticos no se dedican solo a pensar.

En el año 1990 saltó a los medios una importante controversia ecológica en la franja noroeste de Estados Unidos cuando un grupo ecologista señaló que la tala indiscriminada (sobretodo de bosque viejo, de más de 200 años) estaba acabando con las poblaciones del búho manchado del norte o Strix Occidentalis.

Ante aquello, la industria maderera abrió la Caja de Pandora y empezó a vaticinar pérdidas de cientos de miles de empleos y de miles de millones si se protegía a estos animales y se regulaba la tala, y como no podría ser de otra forma, se les hizo caso en un principio. No obstante, en 1993, un grupo de matemáticos presentó el siguiente artículo:

En el, Lamberson y colaboradores utilizaron medidas de campo reales sobre el número de ejemplares de búhos y los modelizaron de una forma especialmente simple pero potente: lo primero que hicieron fue dividir tres categorías de búhos. La primera, búhos jóvenes (J) hasta un año de edad, luego los subadultos (S) con entre uno y dos años, y los adultos (A), con entre dos y veinte años.

A partir de este momento, se tomaron ciertas medidas sobre el terreno: solo los adultos se reproducen, cada pareja requiere de 1000 hectáreas de terreno y la prueba más difícil en la vida del búho se produce cuando éste tiene que dejar el nido natal y encontrar su propio territorio, lo cual se produce al alcanzar la edad subadulta. Con esto plantearon el siguiente modelo:

• El 33% de las parejas adultas darían lugar a un descendiente el año siguiente.
• El 18% de los jóvenes se transformarían en subadultos al año siguiente.
• El 94% de los adultos sobrevivirían de un año para otro, mientras que el 71% de los subadultos se convertirían en adultos.

Vamos a escribir esto con números, y para ello, vamos a designar el año en el que nos encontramos por a, con lo que, por ejemplo, A(a) será el número de adultos este año. Cada línea del modelo se traduce en:

• J(a + 1) = 0,33 A(a)
• S(a + 1) = 0,18 J(a)
• A(a + 1) = 0,71 S(a) + 0,94 A(a) 

Para alguien que no haya visto mucho de matemáticas la notación puede parecerle algo compleja, pero no hay más que detenerse un poco en ella para comprobar que realmente es muy intuitiva. Lo mejor, es que este desarrollo nos permite conocer como va a avanzar la población de búhos a lo largo del tiempo no solo de un año para otro, sino a lo largo de mucho tiempo simplemente con aplicar los cálculos previos de forma sucesiva, de un año para el siguiente (no tardaríamos en darnos cuenta de que los datos cambian a lo largo de los años, pero podemos suponer que lo hacen muy lentamente, por lo que los cálculos serán válidos en cierto intervalo). Estos calculos arrojan el siguiente resultado:

En este cuadro vemos, en azul, la población de adultos, en naranja subadultos y en verde, los individuos jóvenes, y la tendencia queda patente, aunque como científicos que somos, un poco de análisis no está mal: pese a que comenzamos con 1000 individuos de cada categoría, en los primeros años ya han desaparecido la mayoría de subadultos (transformados en adultos, cuya población crece bruscamente al principio). El gran número de adultos no es capaz de generar suficientes individuos jóvenes que repueblen las zonas y la población general decae rápidamente, lo que daría lugar a la extinción.

No se tardó en detectar el problema en un lugar que ya hemos señalado: apenas se forman subadultos porque muy pocos jóvenes sobreviven a la migración; de hecho, en zonas no deforestadas, hasta el 60% de los búhos son capaces de sobrevivir a tal proceso, con lo que quedó demostrado que la deforestación estaba a punto de acabar con las poblaciones de esta zona, consiguiendo así cierta protección para estos animales.

Pero aún tenemos varios comentarios que hacer respecto a este asunto, no tanto a nivel ecológico como matemático, ya que lo que acabamos de ver no es más que un caso particular de un Sistema dinámico discreto. Llamamos Sistema dinámico a cualquier sistema que avance con el tiempo, como pueden ser las poblaciones de animales en un bosque, la temperatura que hace aquí y ahora o cualquiera de los sistemas propuestos en el anterior artículo, donde nos referimos al movimiento. El caso concreto de sistema discreto, se refiere a que no estamos considerando que el tiempo pase continuadamente, segundo a segundo, sino que va a saltos de un año de duración. Carece de sentido preguntarse cuántos búhos hay en el segundo 0,855, pero sí que lo tiene pregutarse cuántos hay en periodos anuales -comparables a la vida de un búho, para orientarnos-. Lo mejor, es que el estudio que acabamos de hacer es absolutamente sistemático: planteas las ecuaciones, que como hemos visto, no son muy difíciles, y le das a la manivela (ordenador, aunque también te valdría una máquina de Babbage).

Que algo sea sistemático en Física significa que podemos llevarlo a otros problemas para seguir estudiándolos con profundidad: no es difícil utilizar el mismo principio para modelar, por ejemplo, cómo avanzaría una población de gatos y ratones en una casa si conocemos el ritmo de caza de los gatos, la reproducción de los ratones, y cuántos gatos te compras ADOPTAS en un año, aunque también podemos predecir cómo crece una ciudad modelando los ratios de emigración, o calcular el tráfico en hora punta, evolución de la banca... En fin, que es el sueño de toda persona obsesiva del control... o de un ecólogo (perdonad que insista con tanta ecología, me gusta el tema).

¿Dónde están pues las pegas a todo esto? Al fin y al cabo, estos modelos son realistas dentro de un rango concreto, y hay nuevos factores que pueden aparecer, tanto porque lleguen externamente tanto como porque sean inherentes al desarrollo del sistema. Podría aparecer un nuevo depredador en el bosque que haga desaparecer a todos los búhos en dos años, por ejemplo, o podría haber un incendio que acabase con gran parte del bosque; siempre tiene que haber algún tipo de corrección sobre el sistema, un control humano. Un cambio inherente al desarrollo lo encontraríamos si todos los búhos jóvenes sobreviviesen a la migración, lo que nos llevaría a cambiar el 18% por un 100%, de forma que la población haría esto, según el modelo:

Es decir, se produciría una superpoblación insostenible, lo que dejaría de ser realista cuando se acabasen los recursos del bosque y debemos considerar nuevos elementos en el modelo, que dejaría de ser fiel a la realidad.

La verdad es que es muy, muy difícil encontrar un sistema de este estilo que mantenga un comportamiento absolutamente estable, que el número de individuos se mantenga constante. Ni siquiera la Naturaleza muestra sistemas estáticos. Lo más normal, es que los valores oscilen en torno a un valor central, dando lugar a procesos cíclicos. Un ejemplo claro es la temperatura del planeta, que antes de ser perturbada artificialmente, oscilaba, dando lugar a glaciaciones intercaladas entre épocas cálidas, aunque también hay ciclos en la radiación solar, el caudal de los ríos... en todas partes. ¿Qué nombre le pondremos a ese punto central al cual quiere llegar el sistema, pero solo puede moverse en torno a él? Parece que atrae al sistema, llamemosle atractor. Sí, es la misma cosa de la que también hablamos en el artículo anterior, solo que aplicada a lo que nos interesa en este momento.

La diferencia fundamental entre los casos que planteamos en el primer artículo y los que estamos estudiando ahora mismo reside en cómo he pintado su Espacio de Fases, que en el primer caso nos permitía representar aquellas curvas tan llamativas posición vs. velocidad, mientras que en este caso el Espacio de Fases (que deja de llamarse así para llamarse simplemente Espacio de Configuración) viene dado por los puntos de las gráficas anteriores, y no hay nada a lo que podamos llamar "velocidad". La similitud reside en que conceptos como "atractor" han sobrevivido y aparecen en ambos casos. Si miras la primera gráfica que hemos comentado, el punto atractor será el cero, ya que es a donde quiere ir el sistema, y donde este será, trivialmente, estable.

Entre este artículo y el anterior hemos visto las dos caras de una misma moneda. De una moneda con una barbaridad de caras distintas, pero que no dejan de ser parte de lo mismo. Efectivamente, hay una parte de la Física que estudia el avance de los sistemas con el tiempo y que se llamó un día Mecánica y estaba muy limitada a sistemas ideales. No obstante, sobretodo tras el desarrollo de los ordenadores, comenzó a preocuparse de los comportamientos más insospechados y profundos de la Naturaleza y en un futuro cercano tendrá que ofrecer unos resultados extraordinarios.