Abstract: el Espacio de Fases

Planteo este blog como una herramienta para desarrollar una labor de divulgación científica, centrándonos en el ámbito de la Física y las Matemáticas. Actualmente, existe una multitud de plataformas en las que se lleva a cabo esta actividad con muy buenos resultados, sobre todo en Internet: desde una infinidad de canales en YouTube hasta plataformas desde las cuales descargar cursos de todos los niveles, pasando por las asociaciones de aficionados a la astronomía o la tecnología. De forma complementaria a todo este material, mi intención no es desarrollar aquí explicaciones acerca de la física más vanguardista, ya que ésta perfectamente explicada por otros divulgadores, sino centrarme en los conceptos más fundamentales y (solo en ocasiones) simples de la Física con una doble vertiente: por una parte, que la gente ajena se haga una idea intuitiva de qué significa cada concepto y de cómo aparece en su día a día, y por otro lado, que tanto la gente experimentada en el tema pueda volver sobre esos conceptos que a veces se pasan demasiado deprisa y no se entienden en toda su profundidad (a mi me pasa continuamente). Dado que la Física no se entendería sin su lenguaje fundamental, las Matemáticas -que son de por sí una rama apasionante-, es normal que hablemos largo y tendido sobre ellas, aunque siempre tratando de orientarnos hacia todos los públicos (el temor a dichas matemáticas no deja de basarse en que no hay nadie que entienda todo).

Sin más que añadir, he escogido un concepto que personalmente me encanta para ir abriendo el blog: el Espacio de Fases. Como veremos, este concepto debe apasionarnos por varias razones 1.-Porque nos lo encontramos por la calle en cuanto salimos, pero no nos fijamos 2.-Porque su representación visual es, en cualquier caso, una verdadera obra de arte y 3.-Porque es algo mucho más simple de lo que su nombre da a entender.

Lo primero que debemos hacer es plantear una de las mayores preguntas de la Física: ¿cómo podemos describir el movimiento? Efectivamente, a los físicos nos importa muchísimo dónde va a estar tu coche al cabo de un tiempo si se mueve a tal velocidad, o la pelota de tenis del vecino una vez la golpee la raqueta, o Júpiter dentro de un tiempo ridículamente largo. Nos interesa, hablando en claro, conocer la posición de un objeto a lo largo de un tiempo, esto es el movimiento.

Un cuerpo que se mueve está caracterizado por dos magnitudes: su posición, que al fin y al cabo es lo que nos interesa, y su velocidad, que nos dice cómo se mueve, y por tanto dónde va a estar dentro de un rato. Tan simple como esto, dos términos que todos estamos acostumbrados a manejar de forma completamente intuitiva arrojan una descripción completa del movimiento, esto es, que no hacen falta más magnitudes para determinar la dinámica del objeto (presentaremos, en otra ocasión, qué ecuaciones utilizamos los físicos en estas ocasiones, irónicamente). Pongamos un ejemplo: un muelle al cual estiramos y dejamos que oscile libremente. La posición de un objeto en la punta del muelle irá aumentando y disminuyendo a medida que este va y vuelve, y lo mismo ocurre con su velocidad, ya que por efecto de la tensión cambiante del muelle, el objeto acelerará y frenará continuamente. Podemos representar estas magnitudes:

En estas gráficas podemos apreciar el continuo cambio de ambas magnitudes frente al tiempo, y con esto ya podríamos quedarnos más o menos tranquilos, pero vamos a sacarnos un truco de la manga y representar ambas magnitudes una frente a otra:

Sí, es un círculo -una elipse para ser más correctos, el círculo es un caso concreto-. Cada punto de nuestra elipse representa la posición y velocidad en cada momento, con que lo que tenemos no es más que la representación gráfica de TODO el movimiento. Apasionante, ¿verdad?

Es a esta forma de ver el movimiento, a este dibujo posición vs. velocidad a lo que llamamos Espacio de Fases, ni mas ni menos, y si tiene un nombre tan rimbombante es porque podemos obtener mucha información de aquí, como veremos enseguida. Pero hay una aclaración que quiero hacer y que es muy necesaria: la velocidad de un cuerpo a la que estamos acostumbrados se generaliza en física a un concepto más profundo y abstracto conocido como momento (el origen del nombre es incierto) y que para andar por casa nos basta definir como la masa del objeto multiplicado por la velocidad, de forma que es esta magnitud la que tiene que aparecer en el gráfico para ser absolutamente rigurosos, pero como la masa suele ser siempre la misma, vamos a darnos el lujo de dejar la velocidad, y ya haremos la multiplicación en el examen. Ahora vamos a centrarnos en cosas que podemos decir del Espacio de Fases.

Representar esta clase de objetos matemáticos tiene profundas consecuencias en geometría y topología, pero nosotros nos vamos a fijar en la información cualitativa que nos esta arrojando: en la figura anterior se aprecia cómo el sistema se niega a salir de una zona acotada en torno al centro, lo que significa que el centro es un atractor, un punto al que tiende el sistema y en el cual tiene estabilidad, lo cual tiene, como podeis suponer, muchas aplicaciones. De hecho tiene tantas que deberíamos hablar de ellas en otro artículo aparte, porque es un concepto que aparece una y otra vez en infinitud de sistemas y es en esta estabilidad la misma que aparece entre especies de animales predadores y presas en la selva del Amazonas. Exactamente la misma.

Pero sigamos hablando del concepto en Física. Propongo un sistema algo más complejo que un muelle: varios muelles. Formemos con tres muelles una cadena de forma que estén sujetos por los extremos y que en los dos espacios entre muelles se sostengan dos pequeñas esferas de metal. Podemos dibujar qué trayectoria siguen esas esferas si tensamos los muelles y las soltamos, siendo algo como esto

Es evidente que las trayectorias tienden a permanecer confinadas, formando esa especie de esfera que se ve (y que si estudiasemos más a fondo sería algo parecido a una rosquilla), por lo que este sistema también va a tener un atractor, justo en el centro. Para ser exactos, cada trayectoria tiene su propio punto atractor, pero en este caso se percibe como uno solo. ¿Y qué pasa si intento dibujar el espacio de fases? En esta ocasión veré que es imposible dibujarlo todo junto, dado que ahora la particula se mueve en tres dimensiones con una velocidad distinta en cada dimension, y por si fuese poco, hay dos partículas acopladas: ¡el Espacio de Fases tiene doce dimensiones! (¿a que mola?) El ejemplo del primer muelle era especialmente fácil dado que solo tenía dos dimensiones: velocidad y posición. Lo único que podemos hacer es representar fragmentos del Espacio de Fases, esto es, proyectar, como en la siguiente figura, en la que voy a mostrar la posición en una sola dirección que va tomando una de las dos partículas del sistema vs. la velocidad en esa dirección.

¿Dónde queda nuestro simple círculo anterior? El espacio de fases aparecería si pudiesemos superponer otras seis figuras como ésta, pero esto esta fuera de nuestro alcance visual; cuantitativamente este movimiento es mucho más complejo que el del primer ejemplo, pero cualitativamente no, gracias a nuestra representación gráfica: igual que antes el movimiento está confinado en torno al punto atractor central, lo cual resulta una similitud fundamental.

Pero se abren muchas preguntas:¿Existen atractores en todos los sistemas?¿Se puede escapar de un atractor?¿Existen puntos igual de importantes con otras propiedades parecidas? No, sí y sí. Para responder a la primera pregunta piensa en un coche que avanza en una dirección concreta sin girar: en ese sistema no existe ningún punto que confine su trayectoria, por lo que es un sistema sin atractores. De hecho, es poco habitual que en un sistema que imagines existan puntos de este estilo, a menos que los busques a drede...¡pero la Naturaleza se ha valido de ellos para casi todo! Están, literalmente, hasta en la sopa.

Atajando la segunda pregunta, podemos ver al Sol como un punto atractor de la Tierra, ya que esta gira en torno a él sin escapar, no por la acción de un muelle gigante, sino por la gravedad -que esencialmente es un muelle gigante-. Ahora, si impulsamos la tierra hacia el espacio exterior acabaría por desvincularse y escapar, con lo que sí que es posible, en muchos casos, separarse de un atractor.

Pero la tercera pregunta es la más interesante: efectivamente, existen comportamientos similares al de los atractores pero que no se forman en puntos únicos, sino que pueden ser órbitas atractoras o cosas peores... toroides (rosquillas) atractoras.

Y de hecho, hay puntos atractores especiales que a veces no son atractores todo el tiempo, solo a ratos. Lo entenderemos mejor con la siguiente imagen.

Quizá te suene: es el célebre Atractor de Lorenz, y refleja el Espacio de Fases de ciertos movimientos de la atmósfera, dando su forma lugar al llamado "Efecto Mariposa". En lo que debemos fijarnos es en que es una figura con dos elipses entrelazadas, lo que representa a dos atractores que se están intercambiando la partícula contínuamente, por lo que son atractores extraños.

El espacio de Fases está presente en todas partes, y los conceptos que acabamos de ver se hacen evidentes solo con prestar un poco de atención al flujo de personas por la calle, al batirse de las hojas en los árboles o a los remolinos en el café, pero es mucho lo que queda por ver. De ahora en adelante espero subir nuevos artículos con todos los cabos sueltos de forma periódica, aunque eso en Física significa cosas muy turbias.