Piedra, papel, tijera (con matrices)

El siguiente juego le va a encantar a cualquiera que sepa cómo multiplicar matrices (este es el requisito mínimo).

Todos sabemos jugar a piedra, papel o tijera, que es un juego cuyos orígenes son inciertos, pero podemos conjeturar que nació en una tarde de infinito aburrimiento, o bien como método más o menos justo de tomar una decisión. El juego como tal no alberga ningún misterio (como ocurre en otros casos aparentemente igual de triviales, como el juego de Monty Hall), al menos, en el ámbito de las matemáticas. Es un juego completamente aleatorio en el que no podemos distinguir ninguna estrategia firme para ganar más allá de la mitad de veces. Pero no desesperéis, aun podemos hacer un par de consideraciones al respecto.

Como bien sabéis, cuando dos jugadores levantan la mano, cada uno propone uno de los tres objetos enunciados en el propio nombre del juego, de forma que, por una serie de razones ridículas, unos se "vencen" a otros, señalando un vencedor. Bien, lo primero que quiero hacer es construir una tabla con cada una de las posibilidades; cada casilla señala quién ha ganado, y es la siguiente:

	Piedra	Papel	Tijera
Piedra	Piedra	Papel	Piedra
Papel	Papel	Papel	Tijera
Tijera	Piedra	Tijera	Tijera

Cabe hacer algunos comentarios: para empezar, cuando los dos jugadores dicen el mismo objeto, he considerado que ganan los dos, es decir, que en la tabla, el elemento piedra-piedra es piedra, el papel-papel es papel, y el tijeras-tijeras, es tijeras. Esto es una elección arbitraria, aunque puede ser significativa; dejo al lector que juegue con esta elección o alguna más de su gusto, bajo su responsabilidad. Otra cosa es que, si contamos cada elemento aparee tres veces, consecuencia de que la situación está equilibrada y no hay ninguna elección preferible sobre las demás. Un tercer comentario se basa en que la tabla es simétrica, esto es, que el elemento piedra-papel y el papel-piedra son el mismo. Una cosa muy interesante es tratar de jugar a este juego modificando algunos elementos y ver qué pasa (a lo mejor me he comprado unas tijeras que no se dejan romper por tu inútil piedra, por ejemplo).

Pero vamos a ponernos serios y pensemos en matrices. Como sabemos, multiplicar dos matrices da lugar a una tercera matriz: pensemos que a una matriz la llamamos "piedra", a otra "papel" y a otra "tijeras", y que al multiplicarse unas con otras sólo den lugar a una de estas tres matrices (acabamos de generar un álgebra). ¿Serías capaz de encontrar qué forma deben tener estas matrices para que no sólo ocurra esto, sino que además reconstruyan la tabla de arriba?¿Qué dimensión deben tener, como mínimo?

Ahí lo dejo, el desafío está sobre la mesa. 

Por cierto: este conjunto de matrices se conoce como representación de los elementos con los que jugamos, y en Física se emplean continuamente. Por cierto, pensar que estos objetos conforman un grupo es un error, ya que no existe elemento identidad ni elementos inversos, aunque reconozco que me sentí muy tentado de pensarlo al principio.